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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 2 Docente: 12 febbraio 2015 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giusti cata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non  e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. Dato il sistema lineare 8 >< >: 2ax + y = a 2x + ay = 1 2x + y = a ( a  e un parametro reale) si calcoli, per ogni valore di a , il rango della matrice dei coefficienti A e quello della matrice completa [ Ajb] del sistema, e si stabilisca per quali valori di a il sistema ammette soluzioni. Per tali valori si determinino tutte le soluzioni del sistema. Soluzione Affinch e esista soluzione del sistema Ax = b deve essere r(A) = r([Ajb]) . Ora il rango di A  e 1 se a = 1 , e 2 se a ̸= 1 ; mentre [ Ajb] ha rango 1 se a = 1 , rango 2 se a = 1 , e rango 3 altrimenti. Quindi il sistema ha in nite soluzioni se a = 1 , un'unica soluzione se a = 1 , e nessuna soluzione se a ̸= 1 . Per a = 1 il sistema si riduce alla singola equazione 2 x + y = 1 , le cui soluzioni sono i vettori [ x; y]T = [0 ; 1]T + h[1; 2]T al variare di h in R . Per a = 1 l'unica soluzione  e [0 ; 1] . 2. Si consideri la funzione f (x; y) = 3x2 6y2 + x2y . Si calcolino il gradiente e la matrice Hessiana di f . Si trovino i punti critici di f e se ne determini la natura (cio e si stabilisca se sono punti di massimo o punti di minimo o punti di sella). Soluzione Il gradiente di f  e ∇f (x; y) = ( 6x + 2xy) !i + ( 12y + x2) !j e la matrice Hessiana: H(f )(x; y) = [ 6 + 2y 2x 2x 12: ] I punti critici di f sono i punti P = (x; y) in cui si annulla il gradiente: 6x + 2xy = 12y + x2 = 0: Dalla prima equazione…