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Analisi e Geometria 1 Primo Appello 12 febbraio 2018 Compito G Docente: Numero di iscri- zione all’appello: Cognome: Nome: Matricola: Prima parte Scrivere le risposte ai due seguenti quesiti A e B su questa facciata e sul retro di questo foglio. A. Enunciare e dimostrare il teorema sulle funzioni con derivata nulla su un intervallo. (3 punti) B. Scrivere la definizione di curvatura di una curva parametrizzata alla lunghezza d’arco. (3 punti) Seconda parte Punteggi degli esercizi : Es.1: 6 ; Es.2: 8 ; Es.3: 4; Es.4: 6. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate e riportate nelle caselle . Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Esercizio 1. (a) Trovare le radici quarte complesse di z = 1 +i √ 3 e scriverle nella forma esponenziale reiϑ, con 0≤ϑ< 2π. Risposta: (b) Si consideri la trasformazione del piano complesso: C T −→ C, T (z) = 2 1−iz Poniamo D ={z∈ C| |z− 1|≤ 1}. Dire cos’` e D, disegnare D sul piano di Gauss e trovare l’area di T (D) ={w∈ C|∃ z∈ C w =T (z)}. Disegno diD: Cos’ ` eD? Risposta: Area diT (D): Soluzioni (a) Scriviamo z = 1 +i √ 3 in forma trigonometrica. Abbiamo 1 +i √ 3 = 2 [ cos (π 3 ) +i sin (π 3 )] . Le radici quarte di z = 1 +i √ 3 sono i quattro numeri complessi dati dalla formula: ζk = 4√ 2 [ cos (π 3 + 2kπ 4 ) +i sin (π 3 + 2kπ 4 )] per k = 0, 1, 2, 3. Dunque ζ0 = 4√ 2 [ cos (π 12 ) +i sin (π 12 )] , ζ1 = 4√ 2 [ cos (7π 12 ) +i sin (7π 12 )] , ζ2 = 4√ 2 [ cos (13π 12 ) +i sin (13π 12 )] , ζ3 = 4√ 2 [ cos (19π 12 ) +i sin (19π 12 )] . (b) Se z e z0 sono due numeri complessi, il modulo della differenza |z−z0| ` e ladistanza tra z e z0. Quindi D ={z∈ C|| z− 1|≤ 1} ` e l’insieme di tutti numeri complessi la cui…