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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 2 Docente: 13 febbraio 2014 Cognome: Nome: Matricola:  Ogni risposta dev'essere giusti cata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non  e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia T : R4 ! R3 l’applicazione lineare definita dalla formula T (x; y; z; w) = ( x + 2y + 3z + 4w; 2x + 3y + 4z + 5w; 3x + 5y + 7z + 9w): (a) Determinare la dimensione dell’immagine di T , una base per il nucleo di T e una base per l’immagine di T . (b) Per quali valori di a il vettore (5 ; 6; a) appartiene all’immagine di T ? Per tali valori determinare tutti i vettori v = (x; y; z; w) 2 R4 tali che T (v) = (5 ; 6; a) . (a) La matrice rappresentativa di T ` e A =   1 2 3 4 2 3 4 5 3 5 7 9   ; la dimensione dell’immagine di T ` e uguale al rango di A , cio` e 2 in quanto la terza riga ` e somma delle prime due. Il nucleo ` e l’insieme dei vettori ( x; y; z; w) che risolvono il sistema A   x y z w   =   0 0 0 0   . Il sistema ha le 12 soluzioni: ( z + 2w; 2z 3w; z; w) = z(1; 2; 1; 0) +w(2; 3; 0; 1) . Pertanto i due vettori: (1 ; 2; 1; 0) e (2 ; 3; 0; 1) formano una base del nucleo. L’immagine ` e generata dalle colonne di A , una base dell’immagine ` e formata da due colonne linearmente indipendenti di A , ad esempio dai vettori (1 ; 2; 3) e (2 ; 3; 5) . (b) Il vettore (5 ; 6; a) appartiene all’immagine di T se, e solo se, a = 11 , infatti il sistema    x + 2y + 3z + 4w = 5 2x + 3y + 4z + 5w = 6 3x + 5y + 7z + 9w = a ha soluzione se, e solo se, la matrice completa ha rango 2. I vettori richiesti sono le 12 soluzioni del sistema: (z + 2w 3; 2z 3w + 4; z; w) , con…