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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T. T otale Analisi e Geometria 1 COMPITO A Docenti: P . Antonietti, F. Cipriani, F. Colombo, F. Lastaria, G. Mola, E. Munarini, P .T erenzi, C. Visigalli 13/07/2009 Ing. Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi: Es.1=6 punti, Es.2=12 punti, Es.3=6 punti, Es.4=6 punti. Punteggio minimo per superare la prova=18 punti. Informazioni importanti: 1) Si deve consegnare solo la presente scheda. 2) Durata della prova: 2h. 3) Svolgere in dettaglio sia gli esercizi che le dimostrazioni dei teoremi nei rispettivi riquadri. 4) Chi si ritira prima della fine dello scritto deve consegnare la scheda e la brutta copia. 5) Durante la prova scritta ` e consentito tenere soltanto le penne. 6) `E vietato comunicare durante la prova scritta. 7) Ci si deve presentare alla prova scritta muniti di un documento d’identit` a. 8) La prova verr` a annullata a chiunque contravverr` a alle regole stabilite sopra. 1. Siano assegnati i punti P (0, 0, 1) e Q(1, 2, 4). Determinare: 1) le equazioni parametriche della retta passante per P e per Q, 2) l’equazione del piano passante per Q e ortogonale alla retta QP . 1 2. Studiare la funzione f(x) =x2− 2 arctanx2. Riportare in tabella i risultati e sul retro del foglio tracciare il grafico e riportare i calcoli. Dominio di f: Limiti agli estremi del dominio: Asintoti: f′ Segno di f′: Punti di massimo e minimo: f′′: Zeri di f′′ e deduzione dei punti di flesso: 2 3. Data la linea Γ in forma parametrica P (t) = (x(t),y (t),z (t)) dove x(t) =t, y (t) =t2, z (t) =t2 + sin(t2− 1), t ∈ R, determinare l’equazione del piano osculatore πosc nel punto relativo a t = 1. 3 4. Calcolare il seguente integrale indefinito I = ∫ ex ex/2 +ex/3 dx. 4 5. Dimostrare il teorema della permanenza del segno. 5