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Analisi e Geometria 1 Secondo compito in itinere 14 gennaio 2019 - Compito A (I turno) Docente: Cognome: Nome: Matricola: Seconda parte Punteggi degli esercizi : Es.1: 5; Es.2: 7. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Sia data l’equazione differenziale y′ = y x− 3 +f(x) con x> 3. (a) Determinare l’integrale generale dell’equazione quando f(x) = 0; (b) Determinare l’integrale generale dell’equazione quando f(x) =x; (c) Determinare la soluzione ˜y(x) dell’equazione con f(x) =x che soddisfa la condizione y(4) = 4. (d) Determinare lo sviluppo di Taylor al secondo ordine di ˜y(x) centrato in x = 4 e disegnare l’andamento locale della funzione. SOLUZIONE (a) Quando f(x) = 0 l’equazione ` e a variabili separabili: dy y = dx x− 3 che integrata diventa: ln|y| = ln|x− 3| +k con k costante arbitraria∈ R. L’ultima relazione si pu` o riscrivere come: |y| =h|x− 3| con h =ek costante arbitraria∈ R+. Infine, togliendo i moduli: y =u (x− 3) con u costante arbitraria∈ R. (b) Quando f(x) =x l’equazione ` e lineare. La soluzione ` e quindi: y =e ∫ 1 x−3dx [ k + ∫ xe ∫ − 1 x−3dxdx ] = =elog|x−3| [ k + ∫ xe−log|x−3|dx ] = =|x− 3| [ k + ∫ x |x− 3|dx ] = (sapendo che x> 3) = (x− 3) [ k + ∫ ( 1 + 3 x− 3 ) dx ] = = (x− 3) [k +x + 3log(x− 3)] = =k(x− 3) + (x− 3) [x + 3log(x− 3)] = Si pu` o notare che anche l’equazione al punto (a) si pu` o risolvere come equazione lineare, ottenendo lo stesso risultato. (c) Per il problema di Cauchy si impone la condizione y(4) = 4 nella soluzione al punto (b). Si ottiene k = 0. Quindi la soluzione del problema di Cauchy ` e: ˜y = (x− 3) [x + 3log(x− 3)] (d) Per lo sviluppo…