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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e geometria 2 III Appello Docente: 14 febbraio 2012 Cognome: Nome: Matricola: • Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. (a) Enunciare il criterio della radice per le serie numeriche. (b) Stabilire se la serie converge ∞∑ n=1 ( sin2(n/2) n2 )2 n . (c) Determinare la somma della serie ∞∑ n=2 ( 1 4 )n 2. (a) Dare la definizione di lavoro compiuto da un campo vettoriale F nello spazio R3 lungo un cammino parametrizzato γ . (b) Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale F(x, y, z) = yzi + yzj + y2k lungo la linea γ di equazioni parametriche: (x(t), y(t), z(t)) = ( t2, et, t), t ∈ [0, 1]. 3. Sia {u1, u2, u3} una base di R3 e sia T : R3 → R3 l’applicazione lineare definita da T (u1) = u1 + u2, T (u2) = −u1 − u2, T (u3) = 0 (a) Scrivere la matrice A che rappresenta T rispetto alla base {u1, u2, u3}. (b) Determinare gli autovalori e gli autovettori della matrice A . (c) Esiste una base di R3 rispetto alla quale la matrice che rappresenta T ` e diagonale? (d) Trovare una base del sottospazio Im T (l’immagine dell’applicazione). (e) Trovare gli eventuali valori di h ∈R per i quali il vettore 2 u1 + hu2 + 4u3 appartiene a Ker T . (f) L’applicazione T 2012 ` e iniettiva? 4. Sia data la funzione: f (x, y) =    arctan 1 x2 + y2 (x, y) ̸= (0, 0) β (x, y) = (0 , 0). (a) Determinare il valore di β per cui la funzione ` e continua nell’origine. (b) Calcolare le derivate parziali nell’origine della funzione assegnata per il valore β trovato nel punto prece- dente. E’ necessario utilizzare…