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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Analisi e Geometria 2 Docente: 14 luglio 2016 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. Sia dato il campo vettoriale F∈C 1(R3) definito come segue: F =xri +yrj +zrk), dove r(x,y,z ) := √ x2 +y2 +z2. (a) Stabilire se ` e conservativo. (b) In caso affermativo determinare un potenziale. Soluzione (a) Il campo vettoriale ` e definito su tutto R3 e F∈C 1(R3) . Poich` eR3 ` e semplicemente connesso erotF = 0 il campo ` e conservativo. Il fatto che rotF = 0 segue da un conto diretto: rotF = i[∂y(zr)−∂z(yr)]−βj[∂x(zr)−∂z(xr)] + k[∂x(yr)−∂y(xr)] e dalle relazioni ∂r ∂x = x r, ∂r ∂y = y r, ∂r ∂z = z r. (b) Dette X , Y e Z le componenti del campo vettoriale e prendendo ad esempio ( x0,y 0,z 0) = (0, 0, 0) un potenziale si calcola con la formula U(x,y,z ) = ∫ x 0 X(x,y,z )dx + ∫ y 0 Y (0,y,z )dy + ∫ z 0 Z(0, 0,z )dz quindi U(x,y,z ) = ∫ x 0 xr(x,y,z )dx + ∫ y 0 yr(0,y,z )dy + ∫ z 0 zr(0, 0,z )dz con semplici integrazioni si ha U(x,y,z ) = 1 3(x2 +y2 +z2)3/2. 2. Sia data l’equazione differenziale lineare y′′(x) + 2 xy′(x)−y(x) = 0, per x> 0. (1) (a) Posto y(x) = 1 xu(x), u ∈C 2((0,∞)) determinare l’equazione differenziale a coefficienti costanti che soddisfa la funzione u . (b) Sfruttando il punto (a) determinare l’integrale generale dell’equazione (1). Soluzione (a) Le derivate prima e seconda di y(x) = 1 xu(x), sono y′(x) =− 1 x2u(x) + 1 xu′(x), y′′(x) = 2 x3u(x)− 2 x2u′(x) + 1 xu′′(x). Si sostituiscano nell’equazione differenziale (1), con alcune semplificazioni si…