14 Teorema spettrale

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REZIONE14 - 3.4.2023 Es- 1)Ivettori(versori)dellebasecanonice sono a 2a 2ortogonil-Infatti-es= 0 Seit;mentre einer=s ti. cioéi. =dij= {itji= j 2) L 1- 1 -2 0=II2 VE IIsonoortogonali- 1 1 Sipuòdimostrarecheun insiemedirettorenon nullia 2a2ortogonalièlinearmenteindipendentePer2vettori? Xi+ h i=00 = t.(xi+ ux)= xlul2= 1 =0 Ref.UnebaseB= 45,5"...,5eydiV · ideteORTONORMALESe <5:,b"x= dii= {1itj i= j cioè yeiazazortogonah.li.ram- Schmidttrasformauna basearbitraria peruno spazio'✓(o sottospazioS)inuna ORTONORMALE (aesercitazioni) Osse. D={5' . . . . ,To m}e-ortonormale⾨ dettaP= [5' /. . . . /In]lamatrice ottenuteaccostandoirettoridellabase sihaPTP= PPT=I. Dim. Pthacome righelecolonnediP, quindiPTP);;= ()(rigaidiPt)(colonna,a:P)=/b-itb-i= = b-i.b-i÷Sij(eanalogamentePPT) Def. PEM(n)sidiceORTOGONALEse ptpfppt)= I, cioèse P- "= PI DalteoremadiBinete dalfattoche detp= detptsihalaseguente PROPOSIZIONE- Peruna matriceortogonaleFsiha detto=±1. Diedetpt= dettoe chetP- 7-tatto. - detpt=detto 㱺(detti- 1 㱺detto= ±1 Es- comesiottieneuna baseORTONORMALE diR2?Parliamode tòversare,quindi5 :-[a . io: '"E' ←il ←"+±!È:] Ì?=/ ⊥la- E)- È, ⾨"㱺f-%:| 2 " cosa Lematricia:{°" - si" " sino ]sia ⊥a)e' =/sia - cosa sonoleunicheortogonaliinR'- n . ,i 1 ^ Q,èantisimmetrico(cioè9i> = -9;i peri=/j)e rappresentauna rotazione ((e-☐ diangolo✗. . Q, èsimmetricae rappresentariflessionerispettoaduna retecheformaangelodcon semiassepositivodellese. Qualisono lematricicheammettonobase ortogonalediautovettori? TEOREMA(SPETTRALE)- una motriceA eM(n)ammettediagonalizzaziortogonale(cioèconbaseautoritariortogonale. ) . 㱺Aèsimmetrica. InoltreAsimmetricehatuttigliautovalori recli & Dim.=> Mostriamosolochese Aét-c. PT AP=D = diag(X,,..., xn)comP ortogonalealloraAè simmetrica - InfattA=PDPTma allora A*=(P(pi)= (PT)Dp T=…