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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e Geometria 2 Sez. Prof. Schlesinger 15 aprile 2019 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli nello spazio sotto il testo. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Esercizio 1. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 con base B ={v1,v 2,v 3} e sia Lk : V → V l’unica applicazione lineare tale che Lk(v1) =v1 + 2v2 + 5v3, Lk(v2) = 2v1 + 4v2−kv3, Lk(v3) = 5v1 + 10v2 + 25v3. (i) Scrivere la matrice Ak che rappresenta Lk rispetto alla base B. (ii) Determinare al variare di k∈ R il rango di Lk, una base di ker(Lk) e una base di im(Lk). (iii) Determinare, per i valori di k per cui ` e possibile, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di Ak. Esercizio 2. Si consideri la funzione f : R→ R 2π-periodica e dispari che nell’intervallo [0,π ] assume valori f(x) = { 5, se 0 <x<π, 0, se x = 0,π. (i) Disegnare il grafico di f nell’intervallo [−2π, 2π]. (ii) Calcolare la serie di Fourier di f. (iii) Calcolare il valore del limite lim n→∞ n∑ k=1 [ 10 ( 1− (−1)k) kπ ] sin ( k 3π 2 ) . Esercizio 3. Risolvere il problema di Cauchy    y′′− 6y′ + 10y =et + 10t y(0) = 1 5 y′(0) = 1 5 . Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e Geometria 2 Sez. Prof. Schlesinger 15 aprile 2019 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli nello spazio sotto il testo. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Esercizio 1. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 con base B ={v1,v 2,v 3} e sia…