15 06 2020 E T

Pagina 1

Algebra Lineare e Geometria – 15 Giugno 2020 Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare    x + z = k2 − 1 −3x + 2y − 2z = 2k − 2 2y + z = 0 , k ∈ R. 1. Determinare per quali valori di k il sistema ammette soluzioni, motivando la risposta e menzionando dove serve quali teoremi sono stati utilizzati. 2. Per gli eventuali valori di k trovati al punto precedente, descrivere le soluzioni del sistema usando il teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare. Inoltre, si considerino le rette r ed s descritte dalle equazioni cartesiane r ( x + z = k2 − 1 2y + z = 0 s ( x + 3y = k2 − 1 y + z = 0 . 3. Stabilire la posizione reciproca di r e s al variare di k in R. 4. Calcolare la distanza minima tra r e s al variare di k in R. Esercizio 2. Si considerino l’applicazione lineareL : R4 → R3 definita da L     x1 x2 x3 x4     =   x1 + 3x2 − 2x4 2x1 + 3x2 − 2x3 − x4 −x1 + 2x3 − x4   e il sottospazio vettoriale U ⊂ R4 definito da U = h x1 x2 x3 x4 iT ∈ R4 x1 − 2x3 = 0  . 1. Scrivere la matrice rappresentativa di L rispetto alle basi canoniche di R4 e R3. 2. Determinare una base di U, di ker(L) e di U ∩ ker(L), illustrando sinteticamente il procedi- mento utilizzato. 3. Determinare la dimensione di L(U), motivando adeguatamente la risposta. Esercizio 3. Si consideri la matrice reale 3 × 3 A =   a 0 0 0 a − 2 2 + a a + 1 2 −2   , a ∈ R. 1 1. Determinare per quali valori di a ∈ R la matrice A `e diagonalizzabile su R, giustificando la risposta. 2. In corrispondenza dei valori di a per cui A `e diagonalizzabile su R, determinare una base di R3 formata da autovettori di A. 3. Stabilire se esistono valori di a ∈ R per cui `e possibile costruire una base ortogonale di R3 formata da autovettori di A, motivando la risposta (in caso…