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Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Totale Analisi e Geometria 2 Docente: 15 Luglio 2013 Cognome: Nome: Matricola: • Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia data la matrice A =   2 2 1 2 0 α2 1 2 −1  . a) Determinare, al variare di α∈ R , il nucleo dell’operatore lineare associato alla matrice A . Soluzione: det A = 8− 2α2 , dunque se α̸=±2 la matrice A ` e nonsingolare, e kerA ={0} ; per α =±2 , cio` eα2 = 4 , si ricava x =−2z , y = 1 2(z−x) = 3 2z , in definitiva α̸=±2 ⇒ kerA ={0} α =±2 ⇒ kerA =      −4k 3k 2k  ,k∈ R   . b) Discutere, al variare di α∈ R , la risolubilit` a del sistema lineare Ax = b , ove b = [α + 1, 4, 1]T . Soluzione: Se α̸=±2 il sistema ammette un’unica soluzione, se α =±2 , la matrice completa ` e rispettivamente [A|b] =   2 2 1 3 2 0 4 4 1 2 −1 1   (α=2) [A|b] =   2 2 1 −1 2 0 4 4 1 2 −1 1   (α=−2) – per α = 2 r(A|b) = 2 e il sistema ha infinite soluzioni, dipendenti da un parametro, – per α =−2 r(A|b) = 3 e il sistema non ammette soluzione. c) Posto α = √ 2 , stabilire se esiste una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A (giustificare la risposta). Soluzione: Per α = √ 2 la matrice A ` e simmetrica, dunque ` e ortogonalmente diagonalizzabile, esiste pertanto una base ortogonale di autovettori di A . 1 2. (a) Sia dato il campo vettoriale G(x,y,z ) =yzi, e la superficie S definita da x(u,v ) =uv, y (u,v ) =u2, z (u,v ) =u +v, dove ( u,v )∈D := [0, 1]× [0, 1]. Calcolare, utilizzando il teorema di Stokes, il lavoro compiuto dal campo vettoriale G lungo il bordo ∂+S di S . (b) Stabilire se le…