15 09 2015

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LOGICA E ALGEBRA 15 settembre 2015 Parte di Algebra Esercizio 1 Sia f la funzione da Z a Z definita ponendo, per ogni n ϵ Z, a) Dire se la funzione f ammette inversa destra, sinistra o bilatera e, in caso positivo, costruire un esempio di tali inverse. b) Sia R ⊆ Z × Z la relazione su Z definita ponendo ( n, m ) ∈ R se e solo se f(n) < f(m) . Dire di che proprietà gode R e se è una relazione d’ordine su Z. Esercizio 2 Si consideri l’insieme H = {ax 3 + bx 2 + cx + d | a, b, c, d ∈ Z 5}. a) Dire se H è un gruppo rispetto all’ordinaria addizione di polino mi. b) Per ognuno degli insiemi K = {ax 2 + b | a, b ∈ Z 5} e M = {ax + [3] 5| a ∈ Z 5} stabilire se sono sottogruppi di H. In caso affermativo dire se si tratta di sottogruppi normali. c) Sia f : H → H l’applicazione definita ponendo ∀ ax 3 + bx 2 + cx + d ∈ H f (ax 3 + bx 2 + cx + d) = ax 3 + cx Si stabilisca se f è un omomorfismo e si trovi la ker f classe del polinomio nullo. Si determinino, infine, tutte le controimmagini mediante f di x 3 + x. GIUSTIFICARE OGNI RISPOSTA Traccia di soluzione Esercizio 1 Osserviamo innanzitutto che f è effettivamente una funzione in quanto ad ogni intero positivo associa uno e un solo numero relativo. a) E’ noto che f ammette inversa destra se e solo se è iniettiva, inversa sinistra se e solo se è suriettiva, inversa bilatera se e solo se è biunivoca. Proviamo che f è iniettiva. Osserviamo subito che se n è un numero pari allora f(n) è dispari e se n è dispari allora f(n) è pari, per cui due interi uno pari ed uno dispari hanno immagini diverse; inoltre se n ed m sono entrambi dispari, ma n è positivo e m negativo allora f(n) è positivo e f(m) è negativo, per cui due interi dispari di segno diverso hanno sempre immagini distinte. Quindi f(n) = f(m) implica che n, m siano entrambi…