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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 2 T erzo Appello Docente: 16 febbraio 2010 Cognome: Nome: Matricola: • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. (a) Sia A una matrice m × n, e sia AT la sua trasposta. La matrice ( AT )A ` e una matrice quadrata anche quando m ̸= n? E’ una matrice simmetrica ? E’ diagonalizzabile ? (b) Data la matrice A = [1 −1 2 2 1 −1 ] , si calcoli il prodotto B = (AT )A, e si trovino una matrice invertibile S e una matrice diagonale D tali che S−1BS = D. 2. Stabilire per quali valori del parametro reale a il campo vettoriale F(x, y) = ( y2 − a y x2 + y2 ) i + ( 2xy + a x x2 + y2 ) j ` e irrotazionale nel suo insieme di definizione. Si calcoli poi il lavoro del campo lungo la circonferenza C con centro nell’origine e raggio unitario, percorsa in senso antiorario. Per quali valori di a ∈R il campo ` e conservativo nel suo insieme di definizione ? Per quali valori di a ∈R il campo ` e conservativo sul disco aperto Ω = {(x, y) : ( x − 1)2 + (y − 2)2 < 1}? 3. Stabilire il carattere di ciascuna delle seguenti serie, motivando le risposte: (a) +∞∑ n=1 1 n sin 1 n (b) +∞∑ n=1 2n(n + 1) n! (c) +∞∑ n=1 (−1)n cos 1 n 4. Si consideri la seguente equazione differenziale: y′′(x) − 5y′(x) + 6y(x) = −3e3x (1) (a) Trovare l’integrale generale (cio` e l’espressione di tutte le soluzioni) dell’equazione omogenea associata. (b) Trovare l’integrale generale dell’equazione assegnata 1. Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 2 T erzo Appello Docente: 16 febbraio 2010 Cognome: Nome: Matricola: • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello…