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Politecnico di Milano – Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Primo Appello – 16 F ebbraio 2015 Cognome: Compito A Nome: Matricola: Es.1: 6 punti Es.2: 6 punti Es.3: 8 punti Es.4: 8 punti T otale 1. (a) Parametrizzare la curva Γ = { (x,y,z )∈ R3 : y =x2, 3z = 2xy} . (b) Determinare la lunghezza L dell’arco γ⊂ Γ i cui estremi sono i punti di intersezione di Γ con i piani π0 : z = 0 e π1 : z = 2/3 . (c) Sia F : R3→ R la funzione definita da F (x,y,z ) =x2 +y . Calcolare l’integrale I = ∫ γ F ds. 2. Calcolare il seguente limite: lim x→0 √ 1−x4− cosx2 x2 sinx−x ln(1 +x2). 3. Studiare la funzione F : (0, +∞)→ R definita da F (x) = ∫ x 1 e−t 3√ t (1 +t) dt. (Segno e zeri, limiti agli estremi del dominio, asintoti, derivata prima (dominio e formula), limiti di F′ agli estremi del dominio, segno di F′ e max/min, derivata seconda (dominio e formula), segno di F′′ e flessi, grafico.) 4. (a) Determinare le soluzioni dell’equazione w2− (2 + i)w + 1 + i = 0 . (b) Determinare le soluzioni del seguente sistema: { w2− (2 + i)w + 1 + i = 0 w =z3. (c) Sia F : C→ C la funzione definita da F (z) = (−1 + √ 3i)z per ogni z ∈ C . Determinare l’immagine F (S) dell’insieme S = { z∈ C : 0 ≤ Rez≤ 1 2 e (Im z)2 = 3 (Rez)2 } . e rappresentarla nel piano complesso. Istruzioni: Non si possono consultare libri o appunti. Non si possono usare calcolatrici. Tutte le risposte devono essere motivate. I fogli di brutta non devono essere consegnati. T empo: 2 ore. 1 Soluzioni 1. (a) Posto x =t , si ha immediatamente la parametrizzazione richiesta: Γ :    x =t y =t2 z = 2 3 t3 t∈ R. Equivalentemente, la curva Γ ` e parametrizzata dalla funzione vettoriale f : R→ R3 definita da f(t) = (t,t 2, 2 3t3) per ogni t∈ R . (b) Usando le equazioni parametriche di Γ si ha immediatamente che z = 0 sse t = 0 e z =…