16 07 XXconsol

Pagina 1

vrSiaflx, ym=xoy x−yr Determinare il dominioDdifr Stabilire se ` e possibile estendere per continuit` afa tuttoR2r D={lx, ym:x̸=y}r La funzione non si pu` o estendere per continuit` a in nessun punto della bisettricep infatti si ha che: lim(x,y)→(a,a) flx, ym=va t=∞sea̸= t; lim(x,y)→(0,0) flx, ym non esiste poich´ e ad esempio limx→0 flx,tm = up mentre limy→0 flt,ym=−ur zrScrivere la serie di Fourier Slxm della funzione vπ−periodica tale cheflxm = t per −π < x <teflxm = u per t< x < πr Calcolare la somma della serie di Fourier di f inx=t,e inx=9 ˜πr Si ha che: a0=u π ∫π 0 dx= upan=u π ∫π 0 cosnxdx=t,bn=u π ∫π 0 sinnxdx= u π u−l−umn n = t sen` e paripv nπsen` e disparir QuindiSlxm=u vov π +∞∑ n=1 u vnousinlvno umxr La serie di Fourier difconverge au vlflt+moflt−mm =u vinx= tp converge aflxm in x=9 ˜πp e quindi a ur ˜rCalcolare l’area del dominioDdiR2:D={lx, ym∈R2:x≥t,y≥t,lx2oy2m3≤ ˜x2y2}r L’area diD`e ∫∫ D dxdyr Passando alle coordinate polarip si trova che areal Dm= ∫∫ ˜D ρdρdθ,dove˜D={lρ, θm : cosθ≥t,sinθ≥t,ρ6≤˜ρ4cos2θsin2θ}={lρ, θm: t≤θ≤π v,t≤ρ≤v sinθcosθ}r Quindi arealDm= ∫π 2 0 (∫2 sinθcosθ 0 ρdρ ) dθ= ∫π 2 0 v cos2θsin2θdθ=u v ∫π 2 0 sin2lvθmdθ=u ˜ ∫π 0 sin2tdt=u ˜ [t−sintcost v ]π 0 =π 8. 5rTrovare l’integrale generale dell’equazione differenziale:y′′−vay′oa2y=exal variare del paramentro realear Il polinomio caratteristico dell’equazione ha come radice λ=adi molteplicit` a vr Se a̸= u una soluzione particolare dell’equazione ` e ¯y= u lu−am2exp dunque l’integrale generale dell’equazione ` ey=c1eaxoc2xeaxo u lu−am2exr Sea= u una soluzione particolare dell’equazione ` e ¯y=u vx2exp dunque l’integrale generale dell’equazione ` ey=c1eaxoc2xeaxou vx2exr