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Analisi e Geometria 1 Primo appello 16 Febbraio 2015 Compito A Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.1: 2+2+2=6 punti; Es.2: 6 punti; Es.3: 2+1+1+1+1+1+2+1 punti; Es.4: 2+3+3=8 punti. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate . Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. i) Parametrizzare la curva Γ := {(x,y,z )∈ R3 :y =x2, 3z = 2xy}. ii) Determinare la lunghezza l(Γ1) dell’arco Γ 1⊂ Γ i cui estremi sono i punti di intersezione di Γ con i piani P0 :={z = 0} e P1 :={z = 2/3}. iii) Sia f : R3→ R, f(x,y,z ) =x2 +y. Calcolare l’integrale di f lungo Γ1. SOLUZIONE i) Posto x :=t abbiamo { y =x2, 3z = 2xy { y =t2, z = 2 3t3 e γ(t) = (t,t 2, 2 3t3) t∈ R. ii) Se Γ∩P0∋ (x,y,z ) allora z = 0 e { 0 =xy, y =x2 { x = 0, y = 0 Γ∩P0 ={(0, 0, 0)}, (0, 0, 0) =γ(0). Se Γ∩P1∋ (x,y,z ) allora z = 2/3 e { xy = 1, y =x2 { x = 1, y = 1 Γ∩P1 ={(1, 1, 1)} (1, 1, 2/3) =γ(1). Poich´ e ˙γ(t) = (1, 2t, 2t2) e∥ ˙γ(t)∥ = 1 + 2t2 si ha l(Γ) = ∫ 1 0 (1 + 2t2)dt = 5 3. iii) ∫ γ fds = ∫ 1 0 (t2 +t2)(1 + 2t2)dt = 22 15. 2. Calcolare lim x→0 √ 1−x4− cos ( x2) x2 sin(x)−x log (x2 + 1) SOLUZIONE Perx→ 0 √ 1−x4− cos ( x2) x2 sin(x)−x log (x2 + 1) = 1−x4/2 +o(x5)− (1−x4/2 +o(x5)) x2(x−x3/6 +o(x4))−x(x2−x4/2 +o(x5) = o(x5) x5/3 +o(x6) Quindi lim x→0 √ 1−x4− cos ( x2) x2 sin(x)−x log (x2 + 1) = 0. 3. Sia data la funzione f : (0, +∞)→ R definita da f(x) = ∫ x 1 e−t 3√ t(1 +t)dt. SOLUZIONE Sia ϕ(t) la funzione integranda, definita sull’insieme D(ϕ) = (0, +∞). Limiti agli estremi del dominio : lim x→0+ f(x) = ∫ 0 1 ϕ(t)dt ( =− ∫ 1 0 ϕ(t)dt ) ∈ R (ϕ presenta una singolarit` a integrabile perx→ 0+) ( ⇒ ponendo f(0) =− ∫ 1 0…