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ANALISI E GEOMETRIA 2 2018–2019 Docente:LELLA Sezione:GOZ–MARF Data:17 Gennaio 2020 – 11:30 Esercizio 1.Siaf:R3Ñ R3l’applicazione lineare rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla matrice A= 2 4 120 240 2´1k 3 5, kPR. (i)Determinare, per ogni valore dikPR, la dimensione ed una base sia del nucleo che dell’immagine dif. (ii)Stabilire per quali valori dikPR, la matriceA`e diagonalizzabile. (iii)Determinare una base per ogni autospazio diAperk=5. Esercizio 2.Si consideri la funzionef:RÑ R,2p-periodica, dispari, che perxP[0,p]`e definita da f(p)=0ef(x)=x2se 0§x†p. (i)Disegnare il grafico difnell’intervallo[´2p,2p]. (ii)Determinare i coefficienti di Fouriera0,a1eb1dif. (iii)Stabilire per qualixPRla serie di Fourier dif`e convergente e a cosa converge. Esercizio 3.Siaf(x,y):R2Ñ Rla funzione definita da f(x,y)= $ ’& ’% ysin(x)a x2+y2, se(x,y)‰(0, 0), 0, se (x,y)=(0, 0). (i)Stabilire sef`e continua in(0, 0). (ii)Calcolare (se esiste) la derivata direzionaleDvf(0, 0)lungo il versorev= h1? 2 1? 2 iT . (iii)Stabilire se la funzionef`e differenziabile in(0, 0). Esercizio 4.Si consideri il campo vettoriale~F:WÑ R2, conW=R2zt(0, 0)u, definito da ~F(x,y)= ✓ y´ y x2+y2 ◆ ~i+ ✓ x+ x x2+y2 ◆ ~j. (i)Calcolare il lavoro di~Flungo la curva~r(t)=(cost)~i+(sint)~jcontP[0, 2p]e stabilire se il campo ~F`e irrotazionale e/o conservativo inW. (ii)Si consideri la restrizione~F|D:DÑ R2del campo vettoriale~Fal primo quadranteD=t(x,y)P R2|x°0,y°0u. Se possibile, trovare il potenziale U:DÑ Rdel campo~F|Dtale che U(2, 2)=0. (iii)Calcolare il lavoro di~Flungo la curva~s(t)che percorre in senso antiorario il quadrato di vertici (2, 2),(3, 1),(4, 2),(3, 3)con punto di partenza(2, 2). x y (2, 2) l 5 l ANALISI E GEOMETRIA 2 Docente:LELLA Data: COGNOME NOME MATRICOLA Soluzione Esercizio 1 l 1 l ci…