17 09 18

Pagina 1

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell’Ingegneria dell’Informazione Appello del 17.09.2018 TEMA 1 Esercizio 1 [7 punti] Si consideri la funzione f(x) := { e− 2 |x| ( 2|x|− 3 ) per x̸= 0 0 per x = 0. i) Determinare il dominio D, le eventuali simmetrie e studiare il segno di f; ii) determinare i limiti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti; iii) calcolare la derivata e studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto; non ` e richiesta la derivata seconda; iv) studiare la continuit` a e (facoltativo) la derivabilit` a dif (in particolare in x = 0); v) disegnare un grafico qualitativo di f. Esercizio 2 [6 punti] Sia Pλ(z) =λ− 4iz + 2iz2 +z3. Determinarne λ0∈ C in modo che z =−2i sia uno zero di Pλ0. Risolvere poi l’equazione Pλ0(z) = 0 esprimendone le soluzioni in forma algebrica. Esercizio 3 [6 punti] Discutere al variare del parametro reale α la convergenza della serie ∞∑ n=2 log(n + sinn) n α 2 + 2 Esercizio 4 [6 punti] Calcolare al variare di α∈ R+ il limite lim x→0+ x− sinhx−xα cosx− 1 +x 7 3 logx . Esercizio 5 [7 punti] Dato l’integrale ∫ 1√ 2 0 x α 2 arcsin 2x2dx, a) studiarne la convergenza al variare di α∈ R; b) calcolarlo per α = 2. Tempo a disposizione: tre ore. Il candidato deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato. La brutta copia non va consegnata: viene corretto solo ci` o che ` e scritto sul foglio intestato.`E vietato tenere con s´ e, anche spenti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo e usare libri e appunti, ad eccezione di quanto si trova scritto sul retro del presente foglio. Ogni affermazione deve essere adeguatamente giustificata. La parte facoltativa ha rilevanza solo per il voto finale, non per l’ammissione all’orale. SVILUPPI DI MCLAURIN DELLE PRINCIPALI FUNZIONI ELEMENTARI Perx→ 0,…