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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Analisi e geometria 2 I Appello Docente: 18 luglio 2011 Cognome: Nome: Matricola: • Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Sia L : R3−→ R3 l’applicazione lineare rappresentata, rispetto alla base canonica {e1, e2, e3} , dalla matrice A =   2 −6 0 −1 3 2 α −3α 0   , dove α∈ R . (a) Determinare α in modo che l’equazione L(v)− 2v = 0 abbia anche soluzioni non nulle. (b) Per il valore di α trovato, determinare una base per Ker ( L) e Im ( L) . (c) Per il valore di α trovato, stabilire se la matrice ` e diagonalizzabile e, in caso affermativo, scrivere una matrice diagonale D simile ad A e una matrice invertibile S per la quale S−1AS =D . Soluzione: L’equazione ha soluzione non banale se 2 ` e autovalore di A e dunque se det ( A− 2I) = 0 da cui α = 1 ed il relativo autovettore ` e (2 , 0, 1) . Inoltre, poich´ e il rango di A , rk(A) = 2 si ha che < (2,−1, 1), (0, 2, 0)> (due colonne linearmente indipendenti) fornisce una base per Im ( L) . Per il teorema della nullit` a pi` u rango la dimensione di Ker (L) = 1 ed una base ` e fornita dalle soluzioni del sistema Av = 0 e v = (3, 1, 0) ` e l’autovettore corrispondente all’autovalore nullo. La restante radice del polinomio caratteristico ` eλ = 3 con relativo autovettore (6 ,−1, 3) e la matrice di passaggio alla forma diagonale ` e S =   3 2 6 1 0 −1 0 1 3   2. (a) Risolvere il problema di Cauchy    y′′ +y =x2 y(0) = 0 y′(0) = 0 (b) Determinare tutti i valori del parametro α∈ R per i quali l’equazione y′′−αy = 0 ha infinite…