1set 2015

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 8 settembre 2015 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria: Dimostrare che la trasformata di Fourier di una funzione di L1(Rn) ` e continua. Esercizio 1. Calcolare ∫ γ sin(2z) z2(z− 2) dz, doveγ ` e la seguente linea: - 6 rz = 2 HH j   HH j 66 Soluzione: Detta f la funzione integranda, si ha Res{f,z = 0} =−1, Res{f,z = 2} = 1 4 sin 4, dunque (tenendo conto del verso di percorrenza di γ): ∫ γ sin(2z) z2(z− 1) dz = 2πi [ Res{f,z = 2}− Res{f,z = 0} ] = 4 + sin 4 2 πi. Esercizio 2. Data la funzione f(x), π-periodica, dispari, tale che f(x) =x2 per x∈ [0, π 2 ) e f(π 2 ) = 0, a) disegnare il grafico dif nell’intervallo [−2π, 2π], e (motivando la risposta) spiegare perch´ ef ` e sviluppabile in serie di Fourier; b) scrivere la serie di Fourier associata a f; c) la serie ottenuta converge in media quadratica a f? Converge puntualmente? Converge uniformemente? Soluzione: a) - 6 x y q q q q−π 2 π 2 π2 4 −π2 4 f∈L2(0,π ), dunque ` e sviluppabile in serie di Fourier. b) f ` e dispari, dunquean = 0 per ogni n, per quanto riguarda bn (usando la simmetria di f): bn = 2 π/2 ∫ π/2 0 x2 sin(2nx) dx = 4 π {[ − 1 2nx2 cos(2nx) ]π/2 0 + 2 2n ∫ π/2 0 x cos(2nx) dx } = 4 π { −π2 8n cos(nπ) + [ 1…