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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 20-7-2019 Esercizio 1. a. Stabilire per quali valori del parametro reale α il seguente integrale risulta convergente ∫ +∞ 0 (4x + 1)(ex− 1)α (x + 1)(x + 2)2 dx; b. calcolare l’integrale per il valore α = 0. Soluzioni a. Sia fα la funzione integranda; essa continua sull’intervallo (0 , +∞). Notando che fα(x) > 0, possiamo applicare il teorema del confronto asintotico. Per x→ 0+ si ha fα(x)∼ 1 4xα, da cui ∫ 1 0 fα(x)dx< +∞ ⇐⇒ α> −1 (I a specie), mentre per x→ +∞ fα(x)∼ 4eαx x2 , da cui ∫ +∞ 1 fα(x)dx< +∞ ⇐⇒ α≤ 0 (II a specie). Riassumendo, abbiamo che ∫ +∞ 0 fα(x)dx = ∫ 1 0 fα(x)dx + ∫ +∞ 1 fα(x)dx< +∞ ⇐⇒ − 1<α ≤ 1 (III a specie). b. Posto α = 0, notiamo subito che la funzione f0 non presenta singolarit` a in x = 0. In virt` u della decomposizione f0(x) = (4x + 1) (x + 1)(x + 2)2 =− 3 x + 1 + 3 x + 2 + 7 (x + 2)2, abbiamo ∫ f0(x)dx = ∫ (4x + 1) (x + 1)(x + 2)2dx = 3 ln (x + 2 x + 1 ) − 7 x + 2 +c. Di conseguenza ∫ +∞ 0 f0(x)dx = lim M→+∞ ∫ M 0 f0(x)dx = lim M→+∞ [ 3 ln (x + 2 x + 1 ) − 7 x + 2 ]M 0 = 7 2− 3 ln 2 + lim M→+∞ [ 3 ln (M + 2 M + 1 ) − 7 M + 2 ] = 7 2− 3 ln 2. Esercizio 2. Si consideri, al variare di α∈ R, l’applicazione lineare Lα : R3→ R3 definita come Lα     x y z     =   x +y +z αy +z αz  . a. Scrivere la matrice rappresentativa del sistema Aα, specificando rispetto a quali basi ` e stata calcolata. b. Discutere la diagonalizzabilit` a diAα. c. Nel caso α = 0 calcolare immagine e nucleo di L0. Soluzioni a. Fissate le basi canoniche in R3 (visto ia come dominio che come codominio di Lα), la matrice associata ad Lα risulta Aα =   1 1 1 0 α 1 0 0 α  . b. Calcoliamo preliminarmente gli autovalori diAα. Notando che essa ` e una matrice triangolare alta, si vede…