2021 06 15

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Esercizio Appello del 15 giugno 2021 Esercizio. (12 punti) Si consideri la funzione (−1, 1) f −→ R f (x) = (1 + x) ln(1 + x) + (1− x) ln(1− x)− 2x2 (1) 1. f è pari, dispari oppure né pari né dispari? Spiegare. Esiste una estensione continua dif all’intervallo chiuso [−1, 1]? Spiegare. 2. Calcolare la derivata primaf′ e la derivata secondaf′′. 3. Scrivere la formula di Taylor-Maclaurin centratax0 = 0 della funzione derivata f′, arrestata al primo ordine (scrivendo l’opportuno termineo-piccolo). Dimostrare che esiste un puntoc∈ (0, 1) in cui la funzione derivata f′ si annulla. 4. Determinare gli intervalli in cuif è convessa o concava e stabilire l’esistenza di eventuali punti di flesso. 5. Disegnare un grafico qualitativo della funzionef. 6. Usando la definizionedi integrale generalizzato, stabilire se è convergente l’integrale ∫ 1 0 ln(x) dx (2) (Soluzioni nella pagina seguente). Soluzioni 1. La funzione f soddisfa f (x) = f (−x) per ogni x∈ (−1, 1); quindi f è pari. Poiché lim x→1− f (x) = 2 ln 2 + 0− 2 = 2 ln(2)− 2 (≈− 0.6137) (si ricordi chet ln t→ 0 per t→ 0+) e quindi (f è pari) anchelimx→−1+ f (x) = 2 ln(2)− 2, concludiamo che esiste una (unica) estensione continua dif a [−1, 1]. 2. f′(x) = ln(1 + x)− ln(1− x)− 4x. f′′(x) = 1 1+x + 1 1−x− 4 = 4x2−2 1−x2 3. f′(x) =−2x + o(x), per x→ 0. Ovviamente, non ha senso applicare il teorema degli zeri af′ sull’intervallo [0, 1], sia perchéf′ non è continua su[0, 1], sia perché non assume valori di segno discorde negli estremi0 e 1: infatti, f′ non è definita inx0 = 1 e f′(0) = 0. -1.0 -0.5 0.5 1.0 -4 -2 2 4 Figura 1: Grafico dif′ Osserviamo però che: (a)f′(x)→ +∞ per x→ 1−, quindi vicino a1 esiste b (b < 1) tale chef′(b) > 0; (b) da f′(x) =−2x + o(x), per x→ 0, segue che vicino a0 esiste un puntoa (a > 0) in cuif′(a) < 0. Dunque…