2021 07 12

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Esercizio Terzo Appello (12 luglio 2021) Esercizio. (12 punti) Si consideri la funzione (−∞, 1)∪ (1, +∞) f −→ R f (x) = arctan 1 1−x, x ̸= 1 (1) 1. Si determinino eventuali simmetrie e asintoti. 2. Stabilire se esistef una estensione continua dif a R. 3. Calcolare la derivataf′. Trovare eventuali punti di massimo o minimo dif sul suo dominioR\{ 1}. 4. Calcolare la derivataf′′. Stabilire dovef è convessa e dove è concava. 5. Tracciare un grafico qualitativo dif. 6. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 dif in x0 = 0. (Soluzioni nella pagina seguente). Soluzioni 1. La funzionef non è né pari né dispari. Il grafico dif è però simmetrico rispetto al punto(1, 0). (Cioè, se il puntoP appartiene al grafico dif, allora anche il simmetricoP′ diP rispetto a (1, 0) vi appartiene). Inoltre, lim x→−∞ f (x) = 0; lim x→1− f (x) = π 2 ; lim x→1+ f (x) =−π 2 ; lim x→+∞ f (x) = 0. Pertanto, la funzionef ha l’asintoto orizzontaley = 0 sia perx→−∞ , sia perx→ +∞, e non ha asintoti verticali o obliqui. 2. Da lim x→1− f (x) = π 2 lim x→1+ f (x) =−π 2 segue chef ha inx0 = 1 una discontinuità non eliminabile. Pertanto, non esiste una estensione continua di f a R. 3. La funzionef è derivabile in ogni punto del suo dominio(−∞, 1)∪ (1, +∞) e f′(x) = 1 1 + 1 (1−x)2 1 (1−x)2 = 1 1 + (1−x)2 (= 1 x2− 2x + 2 ) (2) Per ognix nel dominio dif, si haf′(x)> 0. Non ci sono punti di massimo o minimo (né locali, né globali). 4. f′′(x) = 2(1−x) (1 + (1−x)2)2. La funzionef è convessa (concavità verso l’alto) su(−∞, 1) e concava (concavità verso il basso) su(1, +∞). 5. Il grafico qualitativo dif è il seguente: -5 5 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 Figura 1: Grafico dif (x) = arctan 1 1−x. Perx→ 1±, f (x)→∓π/2. Quindi, non esiste un’estensione continua dif a R. 6. Il polinomio di Taylor di ordine 2 dif in x0 = 0 è…