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Geometria e complementi di Analisi matematica Prova d’esame 21 giugno 2013 1. Nello spazio ordinario, assegnati i punti A(0,1, 1) e B(2,0,1), determinare, se esiste, un punto C appartenente al piano di equazione che sia il vertice di un triangolo isoscele sulla ba- se AB. Quante soluzioni ammette il problema? 2. Nello spazio reso euclideo con il prodotto scalare canonico, è dato il sottospazio U generato dai vettori ed . Si consideri l’applicazione lineare che ad ogni vettore v associa il vettore f ( ) che appartiene ad U ed ha distanza minima da . Calcolare le dimensioni di Im f e di Ker f. Inoltre rappresentare l’applicazione lineare con una ma- trice M(f ) e trovare, se esiste, una matrice diagonale simile a M(f ). 3. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale . Determinare inoltre un integrale particolare, se esiste, che abbia un minimo nel punto A(0, 1). 4. Data la curva di equazioni parametriche: ( ) determinare l’equazione del piano osculatore al variare del parametro t. Determi- nare inoltre, se esistono, i punti della curva i cui raggi di curvatura sono minimi e quelli i cui raggi di curvatura sono massimi. 5. Studiare la funzione di equazione : campo di esistenza, zeri, segno della fun- zione, rappresentandoli in un grafico. Determinare inoltre gli eventuali punti stazionari e la loro natura (massimi, minimi, punti di sella) e scrivere lo sviluppo di Taylor al secondo ordine nel punto A(1,3). Geometria e complementi di Analisi matematica Prova d’esame 21 giugno 2013 1. Nello spazio ordinario, assegnati i punti A (0,1, -1) e B (2,0,1), determinare, se esiste, un punto C , appartenente al piano di equazione x – z + 2 = 0 , che sia il vertice di un triangolo isoscele sulla base AB. Quante soluzioni ammette il problema? Il luogo geometrico dei…