22 01 18consol

Pagina 1

Analisi e Geometria 1 Secondo compito in itinere 22 Gennaio 2018 Compito A Docente: Numero di iscri- zione all’appello: Cognome: Nome: Matricola: Domanda di teoria . (4 punti) Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Utilizzando il teorema fondamentale, dedurre la formula fondamentale del Calcolo Integrale. T eoria Es. 1 Es. 2 T otale Analisi e Geometria 1 Primo compito in itinere 22 Gennaio 2017 Compito A Docente: Numero di iscri- zione all’appello: Cognome: Nome: Matricola: Seconda parte Punteggi degli esercizi : Es.1: 5 = 3 + 2; Es.2: 7 = 3 + 1 + 3. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Si consideri il seguente problema di Cauchy (∗)    y′(t) + t 1 +t2y(t) = 3t, y(0) = 2. a. Determinare la soluzione y(t) di (∗), specificandone il dominio. b. Discutere la convergenza dell’integrale ∫ +∞ 0 1 y(t)dt. Soluzioni a. Notiamo subito che il problema (∗) coinvolge un’equazione lineare del tipo y′ =ay +b, con a(t) =− t 1 +t2 e b(t) = 3t, t ∈ R. Poich´ e tali coefficienti sono continui su tuttoR, la soluzioney di (∗) esiste ed ` e unica suR, ed ` e rappresentata dalla formula y(t) =e ∫t 0 a(τ )dτ [ 2 + ∫ t 0 b(τ)e− ∫τ 0 a(σ)dσdτ ] , t ∈ R. Notiamo subito che ∫ t 0 a(τ)dτ =− ∫ t 0 t 1 +τ 2dτ =−1 2 [ ln(1 +τ 2) ]t 0 =−1 2 ln ( 1 +t2) , da cui, tornando alla formula generale, deduciamo y(t) =e− 1 2 ln(1+t2) [ 2 + 3 ∫ t 0 τe 1 2 ln(1+τ 2)dτ ] = 1√ 1 +t2 [ 2 + 3 ∫ t 0 τ √ 1 +τ 2dτ ] = 1√ 1 +t2 [ 2 + [ (1 +τ 2)3/2 ]t 0 ] = 1√ 1 +t2 [ 1 + (1 +t2)3/2 ] , t ∈ R. b. Dobbiamo giudicare la convergenza dell’integrale ∫ +∞ 0 f(t)dt, ove definiamo f(t) = 1 y(t) = √ 1 +t2 1 + (1 +t2)3/2…