22 02 13consol

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 2 T erzo appello Docente: 22{02{2013 Cognome: Nome: Matricola: • Ogni risposta dev'essere giusti cata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non  e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Data l’applicazione lineare T : R3 → R3 la cui matrice, rispetto alle base canonica di R3 , ` e A =   3 2 1 −3 −2 h + 1 6 4 2   ; (a) per ogni valore di h ∈ R determinare una base di nucleo e immagine di T ; (b) trovare il valore di h per il quale A ha un autovalore uguale a 3; (c) posto h = −2 , provare che A ` e diagonalizzabile, trovare una matrice diagonale D simile ad A e una matrice invertibile S tale che S 1AS = D . Soluzione (a) Riduciamo a scala la matrice ottenendo U =   3 2 1 0 0 h + 2 0 0 0   . Se h ̸= −2 , la matrice a rango due, una base dell’immagine ` e (per esempio) formata dalle due colonne di A su cui giacciono i pivots di U , cio` e la prima [3 ; −3; 6]T e la terza [1 ; h + 1; 2]T (ogni scelta di due colonne indipendenti fornisce una base dell’immagine; non si possono scegliere invece le prime due colonne perch´ e sono linearmente dipendenti). Il nucleo di A , che ha dimensione n − r(A) = 3 − 2 = 1 , consiste dei vettori x = [ x; y; z]T che risolvono il sistema U x = 0 , ovvero 3 x + 2y + z = ( h + 2)z = 0 . La seconda equazione d` a z = 0 , e nella prima possiamo scegliere y come variabile libera e porre y = 3 per evitare denominatori. Troviamo il vettore del nucleo [ −2; 3; 0]T che forma una base del nucleo. Se invece h = −2 , la matrice ha rango 1 , una base dell’immagine ` e formata dalla prima colonna (o da un suo multiplo scalare…