23 Domini in due variabili

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LEZIONE23 - 17.5-2023 TEOREMA-Sefècontinue inR=[c,b7x[c,d)allora Ièintegrabileau R- Comedefiniamof(,y)dudyDer un dominio piùgenerale?SeDéchiusoe limitato,IR rettangolSe(x,x)GDt.c- DaR def-I(x,z)= {f(2)se(e,y)ERID Ref.DiciamodeféintegrabileinDse?e integrabileinRe Siff,ydedy= (E(e,y)crdy Chiaramenteanchese f-e-continuainD, ingeneraleÈnon ècontinuainRed avràdiscontinuitàlungo3D_ Questoèpropriopb' - perchéODpuòessere" moltobrutta" . Vedremoclassididominiabbastanzavaste incuiègarantitaaf). . . se fècontinuo- D - comesicalcolanointegralidoppinella pratica? Iniziamonuovamentecon rettangoloR 1-un - Idea :pensiamoadun prosciutto. che affettiamo con fettemoltosottilidispessore infinitesimo,ma le"somma "dituttelefette midailprosciutto_ Supponiamodi fissarea- se° ,volume dellafettainposizionesiè≈AGildaquindiHaA(a)= area sottoilgraficodi finiy)- - gly) cioè= Gdf(si, g)dypoi" sommiamo"tutte C lefettee allorapossiamodire che bdb |)fan,b)dndy= |Aca)da= {({fca,g)d)da R /a cuifigurasopra) Analogamentepossiamodire che yd fin,b)dxdy=/A(g)dydoveAly)- - /f-G.b)da • " (Fannon)À⊕㱺 f)fcniodseoha. =/a . aR TEOREMA- Sef-e-continuainRalloradb f)ftniodoedy= [fin,g)dy)da =/f-tris) d)d'yR C a Questiultimisono datiintegralinitrati. Es. 2)fin,g)=16- si-2g≥ TE[0,232 §f-(n,y)dndy= [¢16 - si- 2hr9dy)da= R 0 0 is: - Issy- sig- §y' / "= " y=,/da= = [fa- zà- ÷)da= 32m- §si- Fa/È = 64- ¥- Ig= 64- to-48 Verificarechesiottienelostessorisultatocalcolando [si- si-25]d)da