24 07 17consol

Pagina 1

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale e dell’Informazione Analisi Matematica II Primo appello – 24 Luglio 2017 Cognome: Matricola: Nome: Es.1: 5 punti Es.2: 10 punti Es.3: 12 punti Es.4: 6 punti T otale 1. Stabilire se la serie ∑ n≥0 (−1)n n2n 22n(2n)! (a) converge assolutamente (b) converge semplicemente. 2. Sia f : R2→ R la funzione definita da f(x,y ) = (x2 +y2) ex−y ∀(x,y )∈ R2. (a) Scrivere l’equazione del piano tangente di f per x0 = (1, 1) . (b) Calcolare la derivata direzionale Dvf(x0) lungo il versore v = ( 1√ 2. 1√ 2) . (c) Determinare i punti di massimo e minimo liberi di f . (d) Determinare i punti di massimo e minimo di f vincolati alla curva γ : x2 +y2 = 1 . 3. (a) Stabilire se la curva γ :    x = cosθ y = sinθ z = cosθ + sinθ θ∈ [0, 2π] ` e regolare. (b) Si consideri la curva γ come un filo materiale di densist` a lineare di massa δ(x,y ) =√1−xy . i. Calcolare la massa totale M di γ . ii. Calcolare il momento di inerzia Iz di γ rispetto all’asse z . iii. Calcolare il raggio di inerzia rI = √ Iz M di γ rispetto all’asse z . (c) Sia F : R3→ R3 il campo vettoriale definito da F = (y,−x,z ) . i. Calcolare il lavoro di F lungo γ . ii. Stabilire se F ` e un campo conservativo. iii. Sia Σ una superficie regolare semplice orientabile di classe C2 tale che γ =∂Σ . Supponiamo che Σ sia orientata in modo che l’orientazione indotta sul bordo ∂Σ sia contrario a quello indotto su γ dalla parametrizzazione data. Calcolare l’integrale di superficie I = ∫∫ Σ ⟨rot F, n⟩dσ. 4. Calcolare il flusso del campo F = (xy + eyz, ex +yz,xz + siny) attraverso la superficie Σ data dal bordo della regione Ω ={(x,y,z )∈ R3 : x2 +y2 +z2≤r2, y≥ 0, z≥ 0}, dove Σ ` e orientata mediante la normale esterna. Istruzioni. Ogni risposta deve essere giustificata. Il testo del compito deve…