24 07 2014

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LOGICA E ALGEBRA 24 luglio 2014 PARTE DI ALGEBRA Esercizio 1 Si consideri l’insieme X =  8,6,5,4,3,2 e la relazione R su X così definita a R b se e solo se esiste un numero primo p che divida sia a che b (si ricordi che il minimo numero primo è 2). a) Si dica di quali proprietà gode R e se è una relazione d’equivalenza su X. b) In caso contrario si costruisca la relazione d’equivalenza ρ generata da R e le relative classi d’equivalenza. Si consideri, ora, l’insieme Y =  18,9,6,3,2,1 e la relazione S su Y così definita a S b se e solo se a = 3b c) Si dica se S è una relazione d’ordine su Y. d) In caso contrario si costruisca, se esiste, la minima relazione d’ordine  S contenente S e si indichino massimali, minimali, massimo e minimo di Y rispetto a  S . Si consideri, da ultimo, l’insieme X ∩ Y e la relazione T su X ∩ Y così definita a T b se e solo se a R b o a S b o M.C.D. (a,b)=1 e si mostri che è la relazione universale su X ∩ Y. Esercizio 2 Sia G =                   baaRcba ba cac ba ,0,,, 00 0 a) Mostrare che rispetto all’usuale prodotto righe per colonne G è un sottogruppo del gruppo GL3(R ) delle matrici non singolari di ordine 3 sul campo reale. b) Si mostri che l’applicazione f: G R* definita ponendo f                      ba cac ba 00 0 = a è un omomorfismo di G sul gruppo moltiplicativo R* dei reali non nulli. c) Si consideri il sottogruppo H di G definito da H =                   1,, 100 1 01 bRcb b cc b e si provi che è normale in G. ( Facoltativo: H è anche un sottogruppo normale di GL3(R )?) GIUSTIFICARE OGNI RISPOSTA LOGICA E ALGEBRA 24 luglio 2014 PARTE DI LOGICA Esercizio 1 Data la seguente tavola di verità A B C f (A, B, C ) _______________________________________ 1 1 1 1 1 1 0…