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Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Totale Analisi e Geometria 2 Docente: 25 gennaio 2018 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. SiaL : R3→ R3 l’applicazione lineare la cui matrice rappresentativa, rispetto alla base canonica, ` e A =   1 α 3 0 α 0 3 α 9  , α ∈ R. a) Determinare, al variare di α, una base per kerL e una per ImL. b) Determinare il valore α∗∈ R, in corrispondenza del quale A ` e ortogonalmente diagonalizzabile. c) Per α =α∗ , scrivere la matrice ortogonale Q che diagonalizza A (Attenzione: non sono necessari conti, ci si pu` o basare sui risultati del punto a. ) d) Stabilire, al variare di α∈ R, se esiste una base qualsiasi di R3 rispetto alla quale la matrice rappresentativa diL ` e diagonale. Soluzione: a) Osserviamo innanzitutto che det A = 0, inoltre rk A = 2 se α̸= 0 e rk A = 1 se α = 0, pertanto α̸= 0 BkerL =      3 0 −1     , BImL =      1 0 3  ,   1 1 1     , α = 0 BkerL =      3 0 −1  ,   0 1 0     , BImL =      1 0 3     . b) A ` e ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se ` e simmetrica, ci` o accade unicamente perα =α∗ = 0. c) Per α = 0 si ha rk A = 1, dunque gli autovalori sono λ1 = 0 (doppio) e λ2 = 10 (semplice); due autovettori relativi aλ1 sono, osservato che sono ortogonali, i due elementi di BkerL , un autovettore relativo a λ2 ` e quello diBImL , pertanto Q =   3/ √ 10 0 1 / √ 10 0 1 0 −1/ √ 10 0 3 / √ 10  . d) Occorre stabilire se gli autovalori di A sono regolari, e dunque se A ` e diagonalizzabile. Si…