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T.(a) T.(b) Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Totale Analisi e Geometria 1 Secondo Appello 25 Giugno 2018 Compito A Docente: # iscrizione: Cognome: Nome: Matricola: Prima parte: T eoria (punti 4+4). T.(a) Enunciare e dimostrare il teorema di Taylor con il resto secondo Peano. T.(b) Enunciare e dimostrare il teorema sul limite di successioni reali monot` one. Seconda parte: Esercizi. Punteggi degli esercizi: Es.1: 3+1 Es.2: 3+3 Es.3: 1+2+2 Es.4: 2+4+3 Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati . Es. 1 Nello spazio euclideo R3, si considerino i piani P eP′, rispettivamente di equazioni cartesiane P : x−y−z− 1 = 0, P′ : 3 x−y +z− 1 = 0 e il punto A = (0, 3, 4). (a) Trovare un vettore di direzione della retta P∩P ′. (b) Scrivere equazioni parametriche di una retta, se esiste, che passi per il punto A e sia parallela aP e aP′. Soluzione (a) I due piani non sono paralleli. Un vettore di direzione di P∩P ′ ` e un qualunque multiplo (non nullo) del prodotto vettoriale w× w′, dove w e w′ sono vettori di giacitura diP eP′ rispettivamente. Ad esempio, un vettore di direzione diP∩P ′ ` e (1, 2,−1). (b) Esiste un’unica retta, chiamiamola r, che passa per il punto A e che ` e parallela sia a P, sia a P′. Precisamente, ` e la retta passante perA e parallela alla retta P∩P ′. Equazioni parametriche per tale retta r sono: r :    x =t y = 3 + 2t t ∈ R z = 4−t Es. 2 (a) Trovare l’estremo inferiore e l’estremo superiore di f(x) = arctan √ |x2− 1|, x ∈ R specificando se si tratti rispettivamente di un minimo assoluto e di un massimo assoluto. (b) Dimostrare l’identit` a: arctant + arctan 1 t = π 2, per ogni t> 0 Quindi, stabilire…