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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere Docente: 26–04–2012 Cognome: Nome: Matricola: • Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. (a) Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita e sia f : V − →V un’applicazione lineare iniettiva. `E possibile che f non sia suriettiva? (Motivare la risposta). (b) Sia M lo spazio vettoriale delle matrici reali 2 × 2 . L’operatore g : M − →M definito da g(A) = A2 + A6 ` e lineare? (Motivare la risposta). (c) Sia h : R3 − →R3 l’operatore lineare definito da h([ x, y, z ]T ) = [ −x + 2 y + z, −x + 2 y, −x + 2 y + z]T . Determinare la dimensione e una base per il nucleo e per l’immagine di h . 2. (a) Si dia la definizione di autovettore di una matrice quadrata. (b) Trovare gli eventuali valori di k per i quali     1 0 −1 0     ` e autovettore della matrice     −3 2 2 1 2 3 2 1 2 2 k 1 1 1 1 4     . (c) Sia A =   4 2 4 2 1 2 4 2 4   . Trovare gli autovalori e gli autovettori di A , e, se possibile, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A . 3. (a) Trovare la soluzione generale dell’equazione x′′ + 2 x′ − 3x = 1 . (b) Trovare la soluzione generale dell’equazione x′′ + 2 x′ − 3x = e3t . (c) Risolvere il problema di Cauchy    x′′ + 2 x′ − 3x = 1 + e3t x(0) = 1 x′(0) = 1