26 11 14ppii

Pagina 1

Metodi Analitici e Numerici per l'Ingegneria I prova parziale Compito A 26 Novembre 2014 DOMANDA 1 Si consideri un sistema lineare Ax = b dove A  e una matricen  n e x, b 2 Rn 1. (T) Si enuncino due possibili criteri di arresto per un metodo iterativo per risolvere il sistema. 2. (T) Si dica sotto quali condizioni sulla matrice A  e possibile utilizzare per la soluzione del sistema il metodo del gradiente. 3. (T) A quale problema di minimizzazione  e equivalente la soluzione del sistema? 4. (T) Si ricavi il metodo del gradiente (non  e necessario dimostrare l'equivalenza tra la soluzione del sistema e il problema di minimizzazione). 5. (M) Si considerino A =   6 2 1 2 6 2 1 1 2 6 2 1 1 2 6 2 1 1 2 6 2 1 1 2 6 2 1 1 2 6 2 1 2 6   ; b =   7 9 8 8 8 8 9 7   A soddisfa le condizioni del metodo del gradiente? 6. (M) Si implementi il metodo del gradiente e si risolva il sistema Ax = b con A e b de nite nel punto precedente, con x0 = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]T e con tolleranza sul residuo 10 5. DOMANDA 2 Si consideri il sistema di due equazioni in due incognite non lineare { F1(x; y) = cos( x2 + y2) = 0 F2(x; y) = x3 sin y = 0 : 1. (T) Si ricavi il metodo di Newton semplice per la ricerca di zeri di sistemi non lineari. 2. (T) Si enunci un risultato sulla velocit a di convergenza del metodo di Newton. 3. (E) Si calcoli la matrice jacobiana della funzione F (x; y). 4. (M) Si scrivano le anonymous functions Matlab che preso in input una coppia di numeri (x; y), restituiscono rispettivamente F (x; y) e la matrice jacobiana. 5. (M) Si implementi in Matlab l'algoritmo illustrato al punto 1 e si calcoli la soluzione ( ; ) dell'equazione a partire del punto ( x0; y0) = (1 ; 1) con tolleranza tol = 1e 8. 6. (M) Osservando…