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Politecnico di Milano Ingegneria Industriale e dell’Informazione Analisi Matematica II Primo appello – 28 Giugno 2018 Cognome: Matricola: Nome: Es.1: 10 punti Es.2: 9 punti Es.3: 7 punti Es.4: 7 punti T otale 1. (a) Scrivere l’integrale generale dell’equazione differenziale y′′ +y′− 2y = 6 ex + 3 e−2x. (b) Determinare la soluzione della precendente equazione che passa per il punto P≡ (0, 1) e che ammette la retta r : x +y− 1 = 0 come retta tangente in P . 2. (a) Determinare il campo di esistenza Ω ⊆ R2 della funzione f : Ω→ R definita da f(x,y ) =x +y + 1 x + 1 y. (b) Determinare i punti critici di f . (c) Determinare la natura dei punti critici di f . (d) Scrivere la derivata direzionale di f nel punto x0 = (1 2, 1√ 7 ) lungo la direzione data dal versore v = (2 √ 2 3 ,− 1 3 ) . 3. Calcolare il lavoro del campo F = (− ln(x2 +y2), ln(x2 +y2)) lungo la curva γ =∂Ω , orientata positivamente, dove Ω ={(x,y )∈ R2 : − √ 3x≤y≤ √ 3x, 1≤x2 +y2≤ 4}. 4. Calcolare il flusso del campo F = (x2 +y +z,x +y2 +z,x +y +z2) attraverso la superficie Σ =∂Ω , orientata positivamente, dove Ω ={(x,y,z )∈ R3 : x2 +y2≤ 1, 0≤z≤ 1}. Istruzioni. Ogni risposta deve essere giustificata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. T empo. 2 ore. 1 Soluzioni 1. (a) Consideriamo l’equazione differenziale omogenea y′′+y′−2y = 0 . Il polinomio caratteristico λ2 +λ− 2λ = 0 ha due radici reali distinte λ1 = 1 e λ2 =−2 . Pertanto, l’integrale generale dell’equazione omogenea ` e yom(x) =c1ex +c2e−2x c1,c 2∈ R. Per il principio di sovrapposizione, una soluzione particolare dell’equazione completa di partenza ` e data da y(x) =y1(x)…