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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Analisi e geometria 2 Seconda Prova in Itinere Docente: 29 giugno 2010 Cognome: Nome: Matricola: • Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a , sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. Nel piano cartesiano si considerino i punti O = (0, 0), A = ( √ 3 2 , 1 2 ) , B = ( − √ 3 2 , 1 2 ) . Sia D il settore circolare convesso delimitato dai segmenti OA , OB e dall’arco AB della circonferenza con centro nell’origine e passante per A . Calcolare l’integrale I = ∫ ∫ D |x|dxdy Soluzione. Il settore circolare D ` e l’insieme dei punti del piano le cui coordinate polari ( r, ϑ) soddisfano 0 ≤ r ≤ 1, π 6 ≤ ϑ ≤ 5 6 π Poich´ e il settore D ` e simmetrico rispetto all’asse delle y e la funzione f (x, y) = |x|soddisfa la propriet` a di simmetria f (x, y) = f (−x, y) , si ha ∫ ∫ D |x|dxdy = 2 ∫ ∫ D1 x dxdy dove D1 ` e la parte di D che sta nel primo quadrante, cio` e l’insieme dei punti che soddisfano: 0 ≤ r ≤ 1, π 6 ≤ ϑ ≤ π 2 Calcolando l’integrale in coordinate polari, si ha: ∫ ∫ D |x|dxdy = 2 ∫ ∫ D1 x dxdy = 2 ∫ 1 0 (∫ π/2 π/6 r2 cos ϑ dϑ ) dr = 2 (∫ 1 0 r2 dr )(∫ π/2 π/6 cos ϑ dϑ ) = 2 · [ 1 3 r3 ]1 0 · [ sin ϑ ]π/2 π/6 = 2 · 1 3 · 1 2 = 1 3 2. Determinare il valore massimo e il valore minimo della funzione f (x, y) := xy sull’insieme E := {(x, y) ∈R2 : x2 + 2xy + 4y2 = 12}. Soluzione. Usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Posto f (x, y) = xy e g(x, y) = x2 + 2xy + 4y2 − 12 , si tratta di risolvere il seguente sistema: { ∇f (x, y) = λ∇g(x, y) g(x, y) = 0 (1) ossia    y = λ(2x + 2y) x = λ(2x + 8y) x2 + 2xy + 4y2 − 12 = 0 (2)…