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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 2 Docente: 30 giugno 2016 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giusti cata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non  e consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. 1. Si consideri la funzione f (x; y) = x2 + a2y2 sul dominio D = f(x; y) 2 R2 : x2 axy + a2y2  a2g: delimitato dall'ellisse di equazione x2 axy + a2y2 = a2 . Si trovino il massimo e il minimo assoluti di f (x; y) nel dominio D . Nell'esercizio a denota un numero positivo. Soluzione: osserviamo che l'origine (0 ; 0)  e un punto di D e che f (0; 0) = 0  f (x; y) per ogni ( x; y) , quindi 0  e il minimo assoluto della funzione in D . Siccome l'origine  e l'unico punto in cui si annulla il gradiente, i punti di massimo assoluto (ne esiste almeno uno per il teorema di Weierstrass) si trovano tra gli estremi di f (x; y) sul bordo di D . Per il teorema di Fermat sul vincolo, i punti di massimo soddisfano il sistema g(x; y) a2 = fxgy fygx = 0 , ovvero { x2 axy + a2y2 = a2 2a(x2 a2y2) = 0 Dalla seconda equazione ricaviamo x = ay e sostituendo nella prima otteniamo quattro punti critici vincolati: P1 = ( a= p 3; 1= p 3) , P2 = (a= p 3; 1= p 3) , P3 = (a; 1) e P4 = ( a; 1) . Ora f (P1) = f (P2) = 2a2 3 ; f(P3) = f (P4) = 2 a2 per cui il massimo assoluto di f (x; y) sul dominio D  e 2a2 . 2. Sia P il parallelogramma P = f(x; y) 2 R2 : ax  y  ax + b; 3x  y  c 3xg: Si calcoli l'integrale doppio ∫ ∫ P eax y dx dy Soluzione: facciamo cambiamento di variabili u = ax + y , v = 3 x + y . Al variare del punto ( x; y) in P , il corrispondente punto ( u; v) varia nel rettangolo R…