5settembre18

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Analisi Matematica II - 5 settembre 2018 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia f : R2→ R una funzione differenziabile. Definire il gradiente in un punto (x0,y 0) (1 punto), definire la curva di livello passante per il punto (x0,y 0) (1 punto), dimostrare che il gradiente ` e ortogonale alla curva di livello (2 punti). Domanda 2 Mostrare che un campo vettoriale conservativo ` e necessariamente irrotazionale (2 punti). Domanda 3 Enunciare il lemma di Gronwall (2 punti). Analisi Matematica II - 5 settembre 2018 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Si considerino le funzioni fk : [−π,π ]→ R definite da fk(x) = cos(x/k). Si determinino le regioni di convergenza puntuale e uniforme delle serie +∞∑ k=1 fk(x) e +∞∑ k=1 f′ k(x) (3+3 punti). Esercizio 2 (6 punti). Sia f : R2→ R definita da f(x,y ) =|x| log(1 +x2 +y2). Si determini in quali punti del piano f ` e differenziabile. Esercizio 3 . Si determini l’integrale generale dell’equazione (6 punti) y′ = 1−e−y 2t + 1 . Esercizio 4 . Si studi il problema di Cauchy { y′ = sin(y) y(0) =a, dovea∈ [−π,π ]. In particolare: 1. Valgono i teoremi di esistenza e unicit` a in piccolo/in grande? (1 punto) 2. Si determinino le regioni dove la soluzione ` e crescente/decrescente (1 punto). 3. Si determinino le regioni dove la soluzione ` e concava/convessa (1 punto). 4. Si determini l’intervallo massimale di esistenza della soluzione (1 punto). 5. Esistono asintoti verticali o orizzontali? (1 punto) 6. Si tracci il grafico approssimato della soluzione per alcuni valori di a (2 punti).