AG1 2014 appello2 A SOLUZIONI

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Analisi e Geometria 1 Secondo appello 8 Luglio 2015 Compito A Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 8 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 6 punti. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate . Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Si consideri l’equazione differenziale y′ =− y 1 +x2 +e− arctanx ln(x + 1) a) Trovare l’integrale generale. b) Trovare la soluzione che verifica la condizione y(0) = 1. Soluzione a) L’equazione ` e lineare del primo ordine. L’integrale generale ` e:y =e− arctanx (∫ ln(x + 1)dx +C ) = e− arctanx ( x ln(x + 1)− ∫ x x + 1 +C ) =e− arctanx( (x + 1) ln(x + 1)−x +C ) . y =e− arctanx( (x + 1) ln(x + 1)−x +C ) . b) La soluzione del problema di Cauchy ` e la funzione y =e− arctanx( (x + 1) ln(x + 1)−x + 1 ) . (C = 1) 2. Sia f la funzione definita nel modo seguente: [0,π ] f −→ R, ∀x∈ [0,π ] f(x) = cosx 3√ sinx a) Stabilire in quali punti del suo dominio f ` e derivabile e trovare i limiti della derivata agli estremi del dominio. b) Determinare le ascisse dei punti di minimo e di massimo (locali e assoluti) di f nel suo dominio. c) Disegnare il grafico di f. Soluzione a) Si ha che f′(x) = 1− 4 sin2x 3 3√ sin2x , quindi f ` e derivabile nel suo dominio esclusi i puntix = 0,x =π. Si ha che lim x→0+ f′(x) = lim x→π− f′(x) = +∞. b) La derivata prima si annulla se x = π 6 e se x = 5π 6 , ed ` e positiva in ( 0, π 6 ) )∪ (5π 6 ,π ) . Quindi x = 0 ´ e punto di minimo locale, x = π 6 ´ e punto di massimo assoluto, x = 5π 6 ´ e punto di minimo assoluto, x =π ´ e punto di massimo locale. 3. Si consideri la curva parametrizzata C : R−→ R3, C(t) = (et cost)i +…