AG2 20220630 ParteC SOL

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Analisi e Geometria 2 - Parte C Secondo appello 30 giugno 2022 Domanda 1 a. Enunciare e dimostrare il teorema di Rouché-Capelli per i sistemi lineari. Soluzione: Confronta dispense o libro. b. Discutere ed eventualmente risolvere il sistema lineare  1 −2 −1 2  x y  =  3 −3  . Soluzione: La matrice completa del sistema, ridotta a scala, è  1 −2 3 −1 2 −3  − → 1 −2 3 0 0 0  ; con simboli consueti si ha che rk[A|b] = rk A = 1 = 2 − 1 dunque il sistema ha infinite soluzioni, che dipendono da un parametro, da x − 2y = 3 si ottiene x = 3 + 2 y e pertanto le soluzioni sono x y  = 3 0  + α 2 1  , α ∈ R. Domanda 2 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita, su cui è fissato un prodotto scalare e sia U un sottospazio proprio e non banale. a. Dare la definizione di sottospazi vettoriali ortogonali. Soluzione: U e W (sottospazi di V ) si dicono ortogonali se ∀ u ∈ U, ∀ w ∈ W, ⟨u, w⟩ = 0. b. Dare la definizione di complemento ortogonale U ⊥. Soluzione: U ⊥ = {v ∈ V : ⟨v, u⟩ = 0, ∀ u ∈ U }. c. Mostrare che V = U ⊕ U ⊥. Soluzione: Il “T eorema della proiezione ortogonale” stabilisce che ogni vettore v ∈ V si scrive in modo unico come la somma di un vettore vU ∈ U (la proiezione ortogonale di v su U ) e di un vettore v⊥ ortogonale a (ogni vettore di) U . In altri termini: V = U ⊕ U ⊥. d. Siano A e B due matrici reali quadrate di ordine n tali che AtB = O, dove At è la trasposta di A e O è la matrice nulla. Indicato con “ col” lo spazio generato dalle colonne, provare che col(A) e col(B) sono ortogonali rispetto al prodotto scalare standard di Rn. Cosa si può dire a proposito di una matrice reale A di ordine n tale che AtA = O? Motivare le risposte. Soluzione: Osserviamo che per ogni matrice M a n righe e m colonne col(M) = span{colonne di M}, pertanto, dette…