SoluzioniMTMappellodisettembre2014

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Es. 1: 9 punti Es. 2: 9 punti Es. 3: 9 punti Es. 4: 6 punti T otale Algebra lineare e Geometria Appello luglio Ingegneria Matematica 3 settembre 2014 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate. NON E' CONSENTITO L'USO DI TELEFONI CELLULARI O DI AL TRI APP ARECCHI ELETTRONICI. 1. Sia H il piano dello spazio cartesiano che contiene i punti P = (1 ; 3; 1), Q = ( 1; 3; 2) e R = (2 ; 4; 2). Si trovi il punto di intersezione di H con la retta di equazioni cartesiane x + y 2z = 2x y z + 3 = 0 : Soluzione Se H ha equazione ax + by + cz = d, allora a; b; c; d devono soddisfare il sistema lineare omogeneo: 8 >< >: a 3b c d = 0 a + 3b + 2c d = 0 2a 4b 2c d = 0 Risolvendo il sistema si trova che 3 x y + 4z = 2  e un'equazione di H. L'intersezione con la retta assegnata  e la soluzione del sistema lineare 8 >< >: x + y 2z = 0 2x y z = 3 3x y + 4z = 2 ed  e (0; 2; 1). 2. Nello spazio euclideo R4 col prodotto scalare standard e coordinate x; y; z; w, sia K il sottospazio vettoriale di equazioni 3 x + y + w = 5 x + 5y + 4z + 2w = 0. Si scriva il vettore v = [7; 1; 4; 13]T come somma di un vettore di K e di un vettore di K?. Si calcoli la distanza di w da K. Soluzione Il complemento ortogonale di K  e generato dai vettori a = [3 ; 1; 0; 1]T e b = [5; 5; 4; 2]T (sono i vettori dei coefficienti delle equazioni di K). Una base ortogonale di K?  e formata dai vettoria e c = b < a; b > jjajj2 a = 2 664 5 5 4 2 3 775 15 + 5 + 2 9 + 1 + 1 2 664 3 1 0 1 3 775 = 2 664 1 3 4 0 3 775 : La proiezione ortogonale di v su K?  e quindi v? = < v; a > jjajj2 a + < v; c > jjcjj2 c = 33 11 2 664 3 1 0 1 3…