alg lin 2015 06 29soluzioni

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini 29 Giugno 2015 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate 1. Dato il sistema lineare 8 >< >: x + y = 2 2x y = 0 x + 3y = 1 (1) (a) veri care che il sistema  e sovradeterminato; (b) scrivere le equazioni normali del sistema e, dopo aver stabilito che la soluzione ai minimi quadrati del sistema  e unica, determinarla; (c) determinare il vettore appartenente allo spazio colonna della matrice dei coefficienti del sistema avente distanza minima da [2 ; 0; 1]T. Soluzione. (a) Il sistema  e della forma Ax = v dove A = 2 4 1 1 2 1 1 3 3 5 Ajb = 2 4 1 1 2 2 1 0 1 3 1 3 5 : La matrice A ha due colonne lineramente indipendenti, quindi ha rango 2 mentre un facile conto mostra che il determinante della matrice completa  e non nullo quindi la matrice completa ha rango 3. Per il teorema di Rouch e-Capelli il sistema  e sovradeter- minato. (b) Equazioni normali del sistema ATAx = ATb ovvero [6 2 2 11 ] [ x y ] = [ 1 1 ] : Poich er(A) = 2 la matrice ATA ha rango due quindi  e invertibile e il sistema ha un'unica soluzione. Svolgendo i conti si trova che la soluzione  e x0 = [13=62; 4=31]T. (c) Il vettore cercato  e la proiezione ortogonale p di b su Col( A). Si ha che p = Ax0 ovvero p = 2 4 1 1 2 1 1 3 3 5 [ 13=62 8=62 ] = 2 4 (13 8)=62 (26 + 8)=62 (13 24)=62 3 5 = 2 4 5=62 34=62 11=62 3 5 2. Sia A = 2 4 3 1 1 1 4 0 1 0 4 3 5 : (a) Determinare autovalori e autovettori di A. (b) Posto ⟨x; y⟩ = xTAy, mostrare che ⟨x; y⟩  e un prodotto scalare su R3. (c) Descrivere la frontiera dell'intorno di raggio 1…