alg lin 2015 07 24Soluzioni

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini 24 Luglio 2015 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate Nota: alcuni quesiti potrebbero essere risolti con metodi diversi da quelli propo- sti. 1. (11 punti) Sia L l'applicazione lineare che, rispetto alla base canonica di R3,  e rappre- sentata dalla matrice A = 2 4 3 6 3 0 3 0 6 6 6 3 5 : (a) Stabilire se esiste una base di R3 formata da autovettori di A e in caso affermativo determinarla; (b) Stabilire se esiste una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A; (c) Stabilire se il vettore [1 ; 1; 0]T appartiene allo spazio immagine di L. (d) Considerata la base B = f [1; 0; 1]T ; [0; 1; 1]T ; [1; 1; 0]T g di R3, determinare la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare L rispetto a B. Soluzione. (a) Esiste una base di R3 formata da autovettori di A se e solo se A  e diagonalizzabile. Un facile conto mostra che det( A I) = ( 3)2 quindi gli autovalori di A sono 1 = 0 e 2 = 3 con molteplicit a 2. Veri chiamo quindi la regolarit a dell'autovalore 2 essendo 1 semplice e quindi regolare. Essendo r(A 3I) = 1 anche 2  e regolare e la matrice A  e diagonalizzabile. Determiniamo una base di R3 formata da autovettori di A. Gli autovettori di A relativi a 1 = 0 si trovano risolvendo il sistema 3 y = 0, 6 x 6y + 6 z = 0 che fornisce vettori del tipo [ x; 0; x]T , x ̸= 0. Gli autovettori di A relativi a 3 = 3 soddisfano 6x 6y + 3z = 0, che fornisce vettori del tipo [ x; y; 2y 2x]T , x; y ̸= 0. Una base di R3 formata da autovettori di A  e ad esempiof[1; 0; 1]T ; [1; 0; 2]T ;…