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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini 3 Settembre 2015 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate 1. Nello spazio vettoriale R4 si considerino il sottospazio vettoriale U generato da u = [1; 1; 0; 1]T e il sottospazio W formato dai vettori [ x; y; z; t ]T tali che x y z = 0. (a) Veri care che U  W e si completi una base di U ad una base di W ; (b) Sia V il sottospazio di R4 generato dai vettori v1 = [1; 0; 1; 2]T , v2 = [1; 1; 3; 1]T ; determinare una base di W \ V e una base di W + V ; (c) Dato il vettore v3 = [0 ; 1; 2t; t ]T determinare per quali valori di t 2 R i vettori v1, v2, v3 sono linearmente dipendenti; (d) Dire se esiste un'applicazione lineare L : R4 ! R4 che abbia W come nucleo e V come immagine. Soluzione. (a) Poich eu soddisfa l'equazione che de nisce W si ha U  W . Un vettore di W si scrive come x[1; 1; 0; 0]T + y[1; 0; 1; 0]T + t[0; 0; 0; 1]T = xw1 + yw2 + tw3, dim W = 3 perch e  e de nito da un'unica equazione, quindi occorre scegliere due vettori che con u formino una base di W . Poich eu = w1 w3, una base di W  e data dau, w2, w3. (b) La dimensione di V vale 2 infatti i due generatori non sono multipli. Un elemento di V  e della forma av1 + bv2 = [ a + b; b; a 3b; 2a + b]T e appartiene a V \ W se e solo se a + b b + a + 3b = 0, ovvero b = 2=3a. Si deduce che un vettore in V \ W  e multiplo di [1; 2; 3; 4]T . Per la formula di Grassmann si ha dim( V + W ) = dim(V ) + dim( W ) dim(V \ W ) = 4 e una base di V + W  e, ad esempio, la base canonica di R4. (c) Per stabilire quando i vettori dati sono…