alg lin 2016 02 11

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini 11 F ebbraio 2016 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate 1. Sia V = R2[x] lo spazio vettoriale reale dei polinomi di grado minore o uguale a 2. (a) veri care che i polinomi p1(x) = x2 3x + 1, p2(x) = x2 + 2, p3(x) = 4x + 1 formano una base B di V ; (b) veri care che L : V ! V de nita da L(p(x)) = x2p ′′ (x) + p(0)  e un'applicazione lineare; (c) scrivere la matrice rappresentativa di L rispetto alla base B; (d) scrivere la matrice rappresentativa di L rispetto alla base canonica f1; x; x2g. 2. Sia L l'applicazione lineare che, rispetto alla base canonica di R3,  e rappresentata dalla matrice A = 2 4 2 0 2 0 3 0 2 0 2 3 5 : (a) Determinare, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A; (b) determinare il complemento ortogonale del nucleo di A; (c) stabilire se esistono valori di k 2 R per i quali il vettore [ k; 1; k ]T appartiene allo spazio immagine di L. 3. (a) Stabilire se le rette r : x + y = 0; y z = 0 e s : x + z = 1; z = 2 sono complanari o sghembe. (b) Determinare la distanza minima tra r ed s. (c) Determinare il piano che contiene r e passante per il punto A(1; 0; 1). 4. (Usare il retro del foglio). Sia LA : Rn ! Rm l'applicazione lineare associata ad una matrice A. a) Sia B tale che AB = Im. Stabilire se LA  e suriettiva. b) Sia B tale che BA = In. Stabilire se LA  e iniettiva.