Algebra 20

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HOW TO ALGEBRA Determinante 1 MEG (però se cambio riga cambio il segno) + prodotto pivot -> se matrice quadrata 2 Teorema degli sviluppi di Laplace 3 Prodotto degli autovalori Proprietà Matrice inversa -> deve avere rango massimo / determinante diverso da 0 => essere non singolare 1 Algoritmo di Gauss-Jordan 2 Formula 2x2 : 3 dove i sono i complementi algebrici delle righe i e colonne j 4 Teorema di Hamilton-Cayley = risoluzione del polinomio caratteristico con A al posto di 𝝀 + moltiplicazione per A-1 (per trovare la matrice inversa) Rango 1 MEG + calcolo n° pivot diversi da 0 2 Teorema di Kronecker -> si usano i minori di ordine k (il numero di minori è nk) Nucleo 1 Soluzioni -> esiste solo se il rango di A è minore di n Sistema lineare N° soluzioni 1 Teorema di Roche-Capelli Soluzioni 1 2 MEG 3 -> se esiste il KER le soluzioni dipendono da un parametro 4 Formula di Cramer : Controllo dipendenza e indipendenza lineare Si mettono i vettori in una matrice M e si guarda 1 Determinante => linearmente indipendenti => linearmente dipendenti 2 MEG su M -> le colonne/righe con i pivot sono i vettori linearmente indipendenti 3 Prodotto scalare -> 4 Vettori ortogonali sono sempre linearmente indipendenti Indipendenza lineare tra 3 vettori Trovare un vettore linearmente indipendente Basta sommare tutti i vettori e poi sommare uno ad una componente det(A)=det(AT) A−1= 1 det(A)⋅[d−b −ca] A−1= 1 det(A)⋅[Cij]T Cij A⋅x=0 A⋅x=b x=A−1⋅b x=v0+KER(A) x= x1...... xn xi=det(Ai) det(A) det(M)≠0 det(M)=0 <v,w>=||v||⋅||w|| u∙(v×w)≠0 1 Base Trovare una base Controllo l'indipendenza lineare sui vettori generatori Cambiamento di base Trovo la matrice di passaggio dalla base B alla base B' inversa: -> la matrice di passaggio è invertibile Trovare le coordinate di un vettore rispetto a una base…