Appello 02luglio2019

Pagina 1

Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 02/07/2019 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, numero di matricola su ogni foglio consegnato • Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Un caposquadra deve formare la propria squadra scegliendo da un gruppo di n persone: egli pu` o scegliere un numero k qualsiasi di persone, k = 0, 1,...,n . Supponendo che ogni persona sia stata estratta in maniera indipendente dalle altre e in maniera equiprobabile, qual ` e la probabilit` a che sia stata scelta una squadra di k persone, per k = 0, 1,...,n ? 2 I treni della metro arrivano alla stazione vicino casa ogni quarto d’ora a partire dalle 6:00. Entrate in stazione ogni mattina dalle 7:10 alle 7:30, e il vostro istante di arrivo ` e distribuito uniformemente in questo intervallo di tempo. Qual ` e la legge di probabilit` a del tempo di attesa all’arrivo del primo treno? 3 Sia X ∼ U [−1/2, 1/2] e Y ∼ U [−1, 1], con X e Y indipendenti. Calcolare la legge di probabilit` a di Z =X +Y . 4 Sia {Xi, i= 1,...,n } un insieme di v.a. iid con Xi ∼ U [0, 1]. Dire quali delle seguenti successioni di v.a. converge in probabilit` a pern → ∞ e a quale valore. Giustificare le risposte. (a) {Sn} doveSn =∑n i=1Xi (b) {Mn} doveMn = Sn n = 1 n ∑n i=1Xi 5 Si consideri la catena di Markov tempo-discreta in figura. La catena si trova nello stato 1 al tempo 1. (a) Determinare la probabilit´ a di transizione mancanti. (b) Classificare gli stati in transienti e ricorrenti. (c) La catena ` e periodica? Giustificare la risposta discutendo la probabilit` a di trovarsi nello stato 1 dopo un lungo tempo. 2…