Appello 04settembre2017

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 04/09/2017 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori. • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e numero di matricola su ogni foglio consegnato. 1 Si consideri il gioco del Lotto. Qual ´ e la probabilit´ a che giocando 5 numeri si vinca una cinquina? E se si giocano 10 numeri? Nel gioco del Lotto vengono estratti 5 numeri vincenti senza reinserimento da un ’urna con 90 numeri. Si vince una cinquina se i cinque numeri estratti sono tra i numeri giocati. 2 Siano X e Y due v.a. indipendenti con media nulla e varianza unitaria. Considerando Z = X +Y e W =X−Y (a) determinare E[Z] e E[W ] (b) determinare E[Z 2] e E[W 2] (c) determinare se Z e W sono correlate. 3 Un cliente viene servito alla cassa di un supermercato in un tempo casuale distribuito in modo Esponenziale con tasso µ, indipendentemente da tutto il resto. I clienti arrivano ad una cassa seguendo un processo di Poisson a tasso λ. Si consideri l’istante iniziale dove la coda alla cassa ´ e vuota e un cliente inizia ad essere servito. Quanti clienti saranno in coda, mediamente, quando il primo cliente lascer´ a la cassa? Suggerimento: considerare il merging di due opportuni processi di Poisson. 4 Si consideri la catena di Markov tempo-discreta in figura. La catena si trova nello stato 2 al tempo 0. (a) Determinare la probabilit´ a mancante. (b) Classificare gli stati in transienti e ricorrenti. (c) Qual ´ e la probabilit´ a di essere ancora nello stato 2 dopo n passi della catena, per n = 1, 2,... ? (d) Qual ´ e la probabilit´ a di essere nello stato 1 dopon prove? (e) Qual ´ e la probabilit´ a di essere nello…