Appello 08luglio2020

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 08/07/2020 ˆ Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. ˆ Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. ˆ Riportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. ˆ Nominare il file da caricare con il proprio codice persona. ˆ Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Una moneta di raggio r viene lanciata su un foglio quadrettato con quadretti di lato d > 2r. Assunte equiprobabili le posizioni del centro della moneta, qual ` e la probabilit` a che la moneta cada ricoprendo un vertice dei quadretti? 2 Si consideri una variabile aleatoria continua con la legge di probabilit` a come in figura. (a) Determinare il valore di t. (b) Sia Y la v.a. tale che Y = 0 seX∈ [0, 1], eY = 1 altrimenti. Determinare la legge di probabilit` a diE[X|Y ]. (c) Determinare E[X]. x210 t fX(x) 3 SianoX∼U [0, 1] e Y ∼ Exp(1) con X indipendente da Y . Calcolare la legge di probabilit` a diZ =X/Y . 4 Due trasmettitori emettono successioni indipendenti di bit {Xn}n e {Yn}n, con Pr( Xn = 1) = p e Pr(Yn = 1) =q, per ogni n. Il ricevitore osserva Rn = (Xn∨Yn)∧Zn, dove{Zn} ` e una sequenza binaria di errori introdotti dal canale di comunicazione, con Pr( Zn = 1) = z per ogni n, indipendentemente dalle sequenze trasmesse. I simboli ∨ e∧ rappresentano gli operatori logici or e and, rispettivamente. Determinare la legge di probabilit` a del numero di bit 1 ricevuti in n = 1000 usi di canale. 5 Osservando un processo di Poisson per un periodo di τ = 5 minuti, si contanoX = 10 arrivi. Determinare la stima MAP dell’intensit` a incognitaθ del processo di Poisson basata sull’osservazione X, supponendo che la distribuzione a priori di θ sia Θ∼U [0, 10]. 6 Partendo da un generatore casuale di numeri…