Appello 10febbraio2021

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Informazione e stima – 10/02/2021 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. • Nominare il file da caricare con il proprio codice persona. • Indicare l’esercizio da escludere dal punteggio finale. 1 Si consideri un gioco dove si lancia un dado ben bilanciato a 6 facce e successivamente si pesca una carta da un mazzo ben mescolato di 52 carte. Si vincono 100 e se la carta pescata ha un valore minore al risultato del dado, altrimenti si perde la somma puntata p. Qual ` e il minimo valore dip che rende il gioco sostenibile per il banco nel lungo periodo? Le figure (fante, regina, e re) valgono 10. Ad ogni giocata si rimescola il mazzo con tutte le carte. 2 Sia X =− log(|U|) dove U∼U [−1, 1]. Determinare la ddp di X. Suggerimento: determinare prima la distribuzione di T =|U|. 3 Sia X∼ Poisson(10). Condizionando ad un certo X = x, si sa che {Y|X = x}∼ Poisson(x). Calcolare Var[Y ] tramite la legge della variazione totale. 4 All’ufficio postale arrivano due tipi di clienti che richiedono servizi diversi. I clienti di tipo A e B arrivano secondo un processo di Poisson con tasso 20 e 10 all’ora, rispettivamente. Qual ` e la probabilit` a che i primi 3 clienti arrivati all’ufficio siano tutti di tipo A? 5 Partendo da campioni uniformemente distribuiti in [0 , 1], usare il metodo acceptance-rejection per cam- pionare una v.a. X con ddp fX(x) = { 3 4(1− (x− 1)2) 0 ≤ x≤ 2, 0 altrimenti. Scrivere l’algoritmo acceptance-rejection con la miglior efficienza possibile. Mediamente quanti campioni bisogna generare per vederne uno accettato? 6 Il numero di giorni di vita di una lampadina ` e una v.a. X∼ Geom(p). Qual ` e il…