Appello 11gennaio2022

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Informazione e stima – 11/01/2022 ˆ Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. ˆ Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori. ˆ Non riportare solo il risultato, ma cercare di argomentare sinteticamente la risposta. ˆ Riportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. ˆ Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Si estraggono 5 carte da un mazzo di 52 ben mescolato. Si considerino gli eventi A = {solo le prime due carte sono di cuori }, B = {prime due carte di cuori e le altre di fiori }, e C = {prime due di cuori, terza e quarta di fiori, e ultima di quadri o picche }. (a) Senza fare calcoli, dire quale tra A e B ` e l’evento pi` u probabile. Giustificare la risposta. (b) Calcolare le probabilit` a degli eventiA, B, e C. Le estrazioni sono senza reinserimento. Nel mazzo ci sono 13 carte di ogni seme. 2 Sia X la differenza tra il numero di teste e il numero di croci ottenute in due lanci di una moneta ben bilanciata. Si calcolino E [X] e E  X 2 . Come cambierebbero i valori di E [X] e E  X 2 se si facessero 100 lanci? 3 Sia X ∼ Exp(λ) e Y = arctan(X). Si calcoli la legge di probabilit` a diY . Si presti attenzione ai valori assunti da Y . 4 Si consideri un processo di Poisson con intensit` a di 10 arrivi al minuto. Usando il teorema fondamentale del limite, dare un’approssimazione della probabilit` a che ci siano meno di 550 arrivi in un’ora. 5 Si consideri un esperimento aleatorio e un suo evento A di cui si vuole stimare la probabilit` a. Per stimare p = Pr(A) si ripete l’esperimento n volte, ottenendo una stima bPn tramite media campionaria. (a) In quale caso bisogna usare un numero di prove n elevato? Quando A ` e un evento raro o frequente? Giustificare la risposta. (b) Quale tecnica si pu` o usare…